基本の式はτ = F / Aで、せん断応力は、加えた力を、その力に抵抗する面積で割ったものに等しくなります。これは、最も単純なケース、つまり、まっすぐ横方向に荷重がかかるファスナーやピンの平均せん断応力を与えます。より複雑な形状(梁、ねじりを受けるシャフト、土壌)では、同じ基本的な考え方の別のバリエーションを使い、それらは以下で扱います。
基本の式
τ = F / A
- τ = せん断応力(N/mm²またはlbs/in²)
- F = 加えた力(Nまたはlbs)
- A = せん断に抵抗する面積
単せん断:ボルトまたはピン
単せん断(せん断面が1つ)で荷重を受ける丸いファスナーの場合、面積はファスナーの断面積です。
τ_平均 = F / (π r²) = 4F / (π d²)
- r = 半径、d = 直径
計算例
直径10 mmのボルトが、20,000 Nの荷重でせん断破壊する。
せん断面積:A = π(10)² / 4 = 78.54 mm²
せん断応力:τ = 20,000 / 78.54 ≈ 254.6 MPa
これは方法を説明するための例示的な計算であり、測定された材料特性ではありません。特定のボルトグレードの実際のせん断強度は、想定した破断荷重から逆算するのではなく、メーカーの仕様または材料試験から得るべきです。
支圧応力:省略してはいけない検討
ボルトまたはピン接合で確認すべき破損モードは、せん断だけではありません。穴の周りの板やブラケットの材料も、支圧(穴が伸びる、あるいは材料がつぶれる)で破損することがあります。支圧面の応力を表す式は次のとおりです。
Bt = F / (t × d)
- Bt = 支圧面応力(N/mm²またはlbs/in²)
- t = 板/ブラケットの厚さ
- d = ファスナーの直径
せん断だけを確認して支圧の確認を省くのはよくある見落としで、接合部がせん断計算には合格しても、薄い板で穴が伸びて破損することがあります。
複せん断
複せん断(せん断面が2つ。たとえば、クレビスのフォーク接合部を貫通するクレビスピンなど)で荷重を受けるファスナーは、同じ力を2倍の面積で受けます。式は変わらず、変わるのは面積だけです。両方のせん断面の合計面積(単せん断の面積の2倍)を使うと、同じ力に対して計算上のせん断応力は半分になります。
用途別の式のバリエーション
F/Aの形は、単純で一様なせん断荷重にのみ直接当てはまります。他の一般的なケースには、それぞれ専用の式が必要です。
| 用途 | 式 | 備考 |
|---|---|---|
| ボルト/ピン、単せん断 | τ = 4F/(πd²) | 上記で解説 |
| 梁(横せん断) | τ = VQ/(It) | V = せん断力、Q = 断面一次モーメント、I = 断面二次モーメント、t = 幅 — 単純なV/Aではない |
| ねじりを受けるシャフト | τ = Tr/J | T = トルク、r = 半径、J = 断面二次極モーメント |
| 土壌(モール・クーロン) | τ_f = c + σ’·tan(φ) | c = 粘着力、σ’ = 有効垂直応力、φ = 内部摩擦角 |
これらのバリエーションは、単一のファスナーの計算の範囲外で、それぞれに独自の導出と前提があります。用途が単純なピン/ボルト接合ではなく、梁、シャフト、土壌条件である場合は、τ=F/Aを合わない形状に無理に当てはめず、該当する式を使ってください。
引張強さから極限せん断強さを推定する
材料のせん断強さが直接得られない場合に、よく使われる工学的な近似は次のとおりです。
極限せん断強さ ≈ 0.6 × 極限引張強さ(UTS)
関連するバリエーションとして、簡略化したフォン・ミーゼス/ひずみエネルギーのアプローチから導かれた、0.57 × 引張降伏強さ(TYS)を使うものがあります。
これは工学的な議論から出た経験則による推定であり、規格でも、試験済みの材料データの代わりになるものでもありません。荷重を支える用途や安全上重要な用途では、この近似ではなく、データシートまたは規格から得た材料の実際のせん断強さを使ってください(ASTMはASTM B769を含む複数のせん断試験方法を規定しています)。
計算を始める前に知っておくべきこと
式だけでは不十分です。実際にどの破損モード(せん断、支圧、曲げ)を検討しているのか、接合部にせん断面がいくつあるか(単せん断か複せん断か)、形状が単純なピン/ボルトなのか、梁なのか、シャフトなのか、あるいは全く別のものなのかを知る必要があります。形状に対して誤った式を使うことは、正しい式の中で計算を間違えるよりも、よくある間違いです。
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